Hallo Andy,
so wie ich das sehe, ist eine Sperrfrist in Deinem Fall unvermeidbar, und Du hast ja, wie Du sagst, auch kein Problem damit. ALG bekommst Du also im Juni nicht, aber Du bekommst einen Bewilligungsbescheid und wirst in der Zeit von der Arbeitsagentur sozialversichert. Beides willst Du haben.
Die Reise als Kuendigungsgrund anzugeben, halte ich fuer unklug. Das koennte dazu fuehren, dass man Dir die Leistungen nicht bewilligt. Du hast zwar einen Anspruch darauf, aber die Arbeitsagentur legt den Passus "dem Arbeitsmarkt zur Verfuegung stehen" generell zu ihren Gunsten aus, und fuer einen Rechtsstreit hast Du keine Zeit. Es gibt potenziell auch viele andere Gruende, aus denen man einen bestimmten Job nicht (mehr) machen will, und fast alle lassen sich schwer nachpruefen.
LG, Karoshi