Du musst immerhalb von drei Monaten nach Ausstellen des Visums in China einreisen. Danach kannst du so lange im Land bleiben, wie es das Visum erlaubt. Meistens 30 Tage. Im Heimatland bekommst du in der Regel eher längere Visa.
Taiwan hat hat keine chinesische Botschaft. Japan hat traditionell etwas schlechte Beziehungen mit China, da habe ich gehört, dass es häufig zu Ablehnungen kommt. Korea weiss ich nicht. Sehr gut sind aber Hongkong und Bangkok.
Der Vorteil von HK: Da du mit der U-Bahn ein- und ausreisen kannst, wird kein Weiterreiseticket verlangt. War zumindest bei mir nie so. Ansonsten: Die mitunter günstigsten Proformaflüge findest du bei Jeju Air nach Daegu.
Der Vorteil von Bangkok: Du gibst relativ wenig Geld aus, während du aufs Visum wartest. Hongkong ist nämlich ein recht teures Pflaster. Sehr gut ist übrigens auch Malaysia, wo ich schon zwei Mal das Visum geholt habe.
Denk daran, dass du Hotelübernachtungen pro forma vorweisen musst. Die kannst du aber wieder stornieren, sobald du das Visum hast.
Hier gibts noch weitere Infos zum chinesischen Visum, die im Wesentlichen aktuell sind:
http://www.sinograph.ch/visum-fuer-china-beantragen/