Ich habe das Thema vor Kurzem auch gehabt.
Du kannst dich problemlos bei unterschiedlichen Stellen arbeitsuchend und arbeitslos melden, bzw. musst das sogar machen. Denn wenn du deinen Wohnsitz ummeldest musst du auch das zuständige Arbeitsamt wechseln.
Ich gehe davon aus, dass du dich inzwischen in Hamburg arbeitsuchend gemeldet hast.
Ich würde an deiner Stelle einfach gleichzeitig mit der Ummeldung deines Wohnsitzes am 24.9. in Bonn zum Arbeitsamt gehen und mich auch direkt persönlich arbeitslos melden - deine Arbeitsuchendmeldung in Hamburg kannst du ja belegen, falls die danach fragen.
Bei der Arbeitslosmeldung fragst du dann direkt nach dem Antrag auf ALG1 und lässt dir sofort, entweder vor Ort oder per Hotline, einen Termin zur Antragsabgabe geben. In Bonn sollte das innerhalb von ein paar Tagen möglich sein und dann hast du bis zu deiner Abreise den Bewilligungsbescheid in der Tasche. Wichtig ist, dass du zur Antragsabgabe die Arbeitsbescheinigung deines jetzigen Arbeitgebers parat hast. Da würde ich frühzeitig nach fragen, denn oft sind die HR-Abteilungen ja nicht die schnellsten...