Eigentlich solltest du dich bereits arbeitslos zum 1.6. melden, sobald du gekündigt hast. Ich glaube, daß du in den drei Monaten Sperrfrist deine Krankenversicherung selbst zahlen musst, bin aber nicht ganz sicher. Bewerben musst du dich aber trotzdem schon. Wenn du das nicht machst, kannst du nochmal eine Sperrfrist bekommen von 1-x Wochen.
Es gibt noch eine andere Variante, nennt sich Dispositionsjahr. Du könntest dich dann erst zum 1.6.23 arbeitslos melden, dann müsstest du dem Arbeitsmarkt allerdings dann auch zur Verfügung stehen. Vorteil ist, die Sperrfrist entfällt. Nachteil: solltest du an dem Termin krank sein oder noch auf Reisen und dich nicht rechtzeitig arbeitslos melden können, verfällt dein Anspruch. Momentan kann man sich wegen Corona online arbeitslos melden und auch seine Bescheide abholen, vorher musste man persönlich aufs Amt.
Ich kann dir nur empfehlen, bei der 0800 Nummer von der Arbeitsagentur anzurufen. Da habe ich im Vorfeld alle Fragen sehr nett und kompetent beantwortet bekommen. Das kannst du auch jetzt schon machen.
Du kannst auch fragen, wie du die Zeit splitten könntest, z. B. nur ein Monat arbeitslos und dann abmelden, läuft dann die Sperrfrist weiter, wie lange kannst du den ALG Anspruch geltend machen usw.